求解微分方程.(xlnx)y'+y=xlnx

网友回答

（常数变易法）
先解齐次方程(xlnx)y'+y=0
∵(xlnx)y'+y=0 ==>(xlnx)dy/dx=-y
==>dy/y=-dx/(xlnx)
==>dy/y=-d(lnx)/lnx
==>ln│y│=-ln│lnx│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=C/lnx
∴齐次方程(xlnx)y'+y=0的通解是y=C/lnx (C是积分常数)
于是,设原方程的解是y=C(x)/lnx (C(x)表示关于x的函数)
∵y'=[C'(x)lnx-C(x)/x]/ln²x
代入原方程,得(xlnx)[C'(x)lnx-C(x)/x]/ln²x+C(x)/lnx=xlnx
==>c'(x)=lnx
==>C(x)=∫lnxdx=xlnx-∫dx (应用分部积分法)=xlnx-x+C (C是积分常数)
∴y=C(x)/lnx=(xlnx-x+C)/lnx
故原方程的通解是y=(xlnx-x+C)/lnx (C是积分常数).