已知函数f(x)=x2-(m+1)x+4.
(Ⅰ)当x∈(0,1]时,若m>0,求函数F(x)=f(x)-(m-1)x的最小值;
(Ⅱ)若函数G(x)=2f(x)的图象与直线y=1恰有两个不同的交点A(x1,1),B(x2,1)(0≤x1<x2≤3),求实数m的取值范围.
网友回答
解:(Ⅰ)F(x)=f(x)-(m-1)x=x2-2mx+4,x∈(0,1]
对称轴x=m(m>0),
①当0<m≤1时,F(x)min=F(m)=4-m2,
②当m>1时,F(x)min=F(1)=5-2m,
∴F(x)min=
(Ⅱ)G(x)=2f(x)=与直线y=1=20恰有两个不同的交点A(x1,1),B(x2,1)(0≤x1<x2≤3),等价于关于x的方程x2-(m+1)x+4=0在[0,3]上有两个不等的实数根
∴,解得3<m≤,
∴实数m的取值范围为.
解析分析:(Ⅰ)F(x)=f(x)-(m-1)x=x2-2mx+4,x∈(0,1],对称轴x=m(m>0),对m分类讨论,即可得到函数F(x)=f(x)-(m-1)x的最小值;(Ⅱ)G(x)=2f(x)=与直线y=1=20恰有两个不同的交点A(x1,1),B(x2,1)(0≤x1<x2≤3),等价于关于x的方程x2-(m+1)x+4=0在[0,3]上有两个不等的实数根,建立不等式组,即可确定实数m的取值范围.
点评:本题考查二次函数的最值,考查分类讨论的数学思想,考查方程的根的讨论,考查函数与方程思想,属于中档题.