四棱柱P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥平面ABCD,AC=2根号2,PA=2E是PC上的一

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由于PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB、PA⊥AC、PA⊥AD,所以△PAB、△PAC、△PAD均为直角三角形,所以PC=√(PA∧2+AC∧2)=√(2∧2+(2√2)∧2),即PC=2√3①；取PC的中点F,记AC和BD的交点为G,连接AF、PG、FG；AF=PF=PC/2=√3(AF、PF均为直角三角形PAC外接圆的半径),FG=PA/2=1(FG为直角三角形PAC边PC、AC上的中位线),且FG//PA,即FG⊥AC,所以FG/AG=1/√2,PA/AG=2/√2=√2,所以(FG/AG)(PA/AG)=(1/√2)√2=1,所以AF⊥PG②；另,DG⊥AC(菱形对角线相互垂直平分),PA⊥DG(PA⊥面ABCD),即DG⊥PA,所以DG⊥面PAC,所以DG⊥AF,即AF⊥DG③；由②、③得AF⊥面PBD,所以AF⊥PB,即PB⊥AF④；做直角三角形PAB斜边PB上的高AH,垂足为H,即PB⊥AH⑤,连接FH,由④、⑤得PB⊥面AFH,所以PB⊥HF,所以∠AHF=二面角A-B-C,依据题意∠AHF=90°；所以PF=AF=√(HF∧2+PH∧2)=√(HF∧2+AH∧2)=√3,所以PH=AH,所以直角三角形PAH为等腰直角三角形,所以∠APB=45°,所以直角三角形PAB也为等腰直角三角形,所以AB=PA=2,所以AB=BC=CD=AD=2(菱形四边相等)；因为AB∧2+BC∧=2∧2+2∧2=8,AC∧2=(2√2)∧2=8,所以AB∧2+BC∧2=AC∧2,所以ABCD为边长为2的正方形；由上可知,AH⊥PB、AH⊥HF,所以AH⊥面PBC,即AH为面PBC的法线,所以PD和面PBC的夹角=90°-PD和AH的夹角；不难知道PD为正方体表面正方形的对角线,AH为正方体表面正方形对角线的一半,正方体任意三个相互垂直的表面的三条对角线不仅相等,而且经过平移任意两条对角线总能归入一个等边三角形,所以这样三条对角线任意两条的夹角为60°,所以PD和AH的夹角为60°,所以PD和面PBC的夹角为30°