长方体AC1中，AB=BC=1，AA1=2，过顶点D1在空间作直线l，使l与直线

网友回答

D解析分析：连接A1C1、A1B，可得∠A1C1B（或其补角）就是直线AC和BC1所成的角．在△A1C1B中用余弦定理，算出直线AC和BC1所成的角为arccos．设△A1C1B确定的平面为α，直线A1C1是直线m，直线BC1是直线n，得经过m、n的交点O的直线l在α内的射影在m、n所成角的平分线上时，l与m、n所成的角相等．在此情况下讨论这个所成角的范围，结合直线l的平移，可得满足条件的直线最多可以作出4条．解答：连接A1C1、A1B，∵长方体AC1中，A1A∥C1C且A1A=C1C∴四边形AA1C1C是平行四边形，得A1C1∥AC∴∠A1C1B（或其补角）就是直线AC和BC1所成的角△A1C1B中，A1C1=AC==，同理可得A1B=BC1==∴cos∠A1C1B==，由此可得直线AC和BC1所成的角为arccos＞=arccos设△A1C1B确定的平面为α，直线A1C1是直线m，直线BC1是直线n，得m、n所成的锐角为arccos，是大于的角经过m、n的交点O作直线l，当l在α内的射影在m、n所成角的平分线上时，l与m、n所成的角相等．∵m、n所成的锐角为arccos＞∴当l在α内的射影在m、n所成钝角的角平分线上时，l与m、n所成角的范围为（-arccos，]，所成角的最小值大于-arccos，并且无限接近-arccos，而＞-arccos，所以此种情况有两个位置满足l与m、n所成角等于；当l在α内的射影在m、n所成锐角的角平分线上时，l与m、n所成角的范围为（arccos，]，因为arccos＜，所以直线l也有两个位置满足与m、n所成角都等于．综上所述，经过m、n的交点O，有4条直线l满足与m、n所成角等于，再将直线l平移至经过点D1，可得经过顶点D1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于，这样的直线最多可作4条故选D点评：本题在长方体中，讨论经过一个顶点作出与两条面对角线都成60度的直线的条数，着重考查了长方体的性质和异面直线所成角求法与范围等知识，属于中档题．