函数:√(1+kx^2)的积分

网友回答

∫√(1+kx^2)dx
当k大于0时
设x=tant/√k,则dx=1/√k*(sect)^2dt
所以原式=1/√k*∫(sect)^3dt
=1/√k*∫sectdtant
=1/√k(sect*tant-∫tan^2 t*sectdt)
=1/√k(sect*tant-∫(sec^2 t-1) *sectdt)
=1/√k(sect*tant-∫sec^3 tdt+∫sectdt
所以原式=1/√k*（1/2*sect*tant+1/2ln|sect+tant|)+c
当k小于0时
还是差不多的模式的
就是把设x=sint/√-k,则dx=1/√-k*costdt
原式=1/√-k*∫cos^2 tdt
=1/√-k*∫(cos2t+1)/2dt
=1/√-k*(1/4sin2t+1/2t)+c
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
解题过程点下图查看
函数:√(1+kx^2)的积分(图1)
供参考答案2:
∫√(1+kx^2)dx
=∫√(1+kx^2)/2+√(1+kx^2)/2 dx
=∫1/2√(1 + k x^2) + (k x^2)/(2√(1 + k x^2) + √(1 + k x^2)/2 dx
=∫1/2√(1 + k x^2) dx + ∫(k x^2)/(2√(1 + k x^2) + √(1 + k x^2)/2 dx
=arcsinh((√k)*x)/(2√k) + ∫(k x^2 + 1)/(2√(1 + k x^2) dx
=arcsinh((√k)*x)/(2√k) + ∫(k x^3 + x)/(2√(x^2 + k x^4) dx
=arcsinh((√k)*x)/(2√k) + ∫(k x^3 + x)/(2√(x^2 + k x^4) dx