以原点为圆心的两个同心圆的方程为x方+y方=4和x方+y方=1,过原点O的射线交大圆于点P,交小圆于

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①,点N的轨迹方程：x^2/4+y^2=1.
②,所求取值范围：[-3,6].
解析：依题意知：点N在线段PM上,且QN垂直PM,
所以点N的横坐标为点P的横坐标,纵坐标为点Q的纵坐标,
设直线OP的斜率为k,方程为：y=kx,
分别代入x^2+y^2=1,x^2+y^2=4,得：
点Q的纵坐标：y=k/(k^2+1) ,点P的横坐标：x=4/(k^2+1),
所以点N坐标为：( 4/(k^2+1),k/(k^2+1) ),
所以点N的轨迹方程：x^2/4+y^2=1.
设直线L的斜率为k,则：直线L方程：y=kx+3k
将方程：y=kx+3k代入x^2/4+y^2=1,得：
(1+4k^2)x2+24k^2x+(36k^2-4)=0,
令判别式=(24k^2)^2-4(1+4k^2)(36k^2-4)=0,
得：k^2=1/5,所以 k=√5/5,或k=-√5/5,
k^2=1/5时,x=-4/3,
所以y=√5/3,或 y=-√5/3,
故直线L与椭圆的切点为：(-4/3,√5/3),(-4/3,-√5/3),
所以当点E,F(同点)为切点时,
BE的向量×BF的向量有最大值：(-4/3-1,√5/3)*(-4/3-1,√5/3)=6,
当直线L为x轴,E(-2,0),F(2,0)时,
BE的向量×BF的向量有最小值：(-2-1,0)*(2-1,0)=-3.
故BE的向量×BF的向量取值范围为：[-3,6].
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
(1)根据作图知：QN垂直于PM交PM于点N，设N（x,y）
P(2cosa,2sina),Q(cosa,sina)
所以x=2cosa
y=sina
两边同时平方，消去a，可得
点N的轨迹方程:x^2/4+y^2=1
(2)设直线L方程：y=kx+3k代入x^2/4+y^2=1得：
(1+4k^2)x2+24k^2x+(36k^2-4)=0
x1+x2=-24k^2/(1+4k^2)
x1x2=(36k^2-4)/(1+4k^2)
设E(x1,y1) F(x2,y2)
可能是求向量BE与向量BF的数量积的范围
向量BE与向量BF的数量积=x1x2+y1y2-(x1+x2)+1
y1y2=k^2x1x2+3k^2(x1+x2)+9k^2
向量BE与向量BF的数量积=(1+k^2)x1x2+(3k^2-1)(x1+x2)++9k^2+1
代入得：上式=(69k^2-3