设函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a＞0）的单调减区间是（1，2）．（1）f（x）的解析式；（2）若对任意的m∈（0，2]，关于x的不等式在x∈[2，+∞）时

网友回答

解：（1）∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a＞0），
∴f'（x）=3ax2+2bx+c．
∵f（x）的单调减区间是（1，2），
∴∴．
∴．
（2）由（1）得f'（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x∈[2，+∞）时，f'（x）≥0，
∴f（x）在[2，+∞）单调递增，
∴f（x）min=f（2）=3．
要使关于x的不等式在x∈[2，+∞）时有解，
即，
即对任意m∈（0，2]恒成立，
只需在m∈（0，2]恒成立．
设，m∈（0，2]，
则t＜h（m）min．，
当m∈（0，2]时，h（m）在（0，1）上递减，在（1，2]上递增，
∴．
∴．
解析分析：（1）f'（x）=3ax2+2bx+c．由f（x）的单调减区间是（1，2），知，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由（1）得f'（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），当x∈[2，+∞）时，f'（x）≥0，故f（x）在[2，+∞）单调递增，所以f（x）min=f（2）=3．要使关于x的不等式在x∈[2，+∞）时有解，只需在m∈（0，2]恒成立．由此能求出实数t的取值范围．


点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．易错点是要使关于x的不等式在x∈[2，+∞）时有解，只需在m∈（0，2]恒成立．解题时要认真审题，仔细解答．