如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.O为BD的中点、M在PD上,且BM⊥PD.
(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(3)求四面体O-ABM的体积.
网友回答
(1)证明:由底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,解得
又M在PD上,且BM⊥PD,∴M为BD中点,∴AM⊥PD;
又BA⊥PA,且BA⊥AD,PA∩AD=A,∴BA⊥平面PAD,
∴BA⊥AM,
∵CD⊥AM,PD∩CD=D,∴AM⊥面PCD,
∵AM?平面ABM,
∴平面ABM⊥平面PCD;
(2)解:过M做ME⊥AD于E,则ME⊥面ABO,且ME=,
又O为BD中点,则,
∴
解析分析:(1)利用线面垂直的判定定理,证明BA⊥平面PAD,AM⊥面PCD,利用面面垂直的判定证明平面ABM⊥平面PCD;(2)求出△ABO的面积,即可求四面体O-ABM的体积.
点评:本题考查面面垂直,考查求四面体O-ABM的体积,掌握线面垂直的判定是关键.