某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn+1=aan，
cn+1=an+b?an2?（其中a、b为常数），已知a1=1万件，a2=1.5万件，a3=1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出an+1与an满足的关系式；
（2）试用你所学的数学知识论证销售总量an逐月递增且控制在2万件内；
（3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式．
网友回答
解：（1）依题意：an+1=bn+1+cn+1=aan+an+ban2，
∴a2=aa1+a1+ba12，∴a+1+b=…①
又a3=aa2+a2+ba22，∴a++b（ ）2=…②
解①②得a=1，b=-
从而an+1=2an-an2（n∈N*）…（4分）
（2）证法（Ⅰ）由于an+1=2an-an2=-（an-2）2+2≤2．
但an+1≠2，否则可推得a?1=a?2=2与a?1=1，a2=1.5矛盾．故an+1＜2??于是an＜2
又an+1-an=-an2+2an-an=-an?（an-2）＞0，
所以an+1＞an?从而an＜an+1＜2?????????????（9分）
证法（Ⅱ）由数学归纳法
（i）当n=1时，a1=1，a2=1.5，显然a1＜a2＜2成立
（ii）假设n=k时，ak＜ak+1＜2成立．
由于函数f?（x）=-x2+2x=-（x-2）2+2在[0，2]上为增函数，
则f?（ak）＜f?（ak+1）＜f?（2）即ak?（4-ak）＜ak+1（4-ak+1）＜×2×（4-2）
即?ak+1＜ak+2＜2成立．?综上可得n∈N*有an＜an+1＜2?（9分）
（3）由an+1=2an-an2得2?（an+1-2）=-（an-2）2??
即（2-an+1）=（2-an）2
又由（2）an＜an+1＜2，可知2-an+1＞0，2-an＞0
则lg?（2-an+1）=2lg?（2-an）-lg?2
∴lg?（2-an+1）-lg2=2[lg?（2-an）-lg2]
即{lg?（2-an+1）-lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg?（2-a1）-lg?2=-lg?2
故lg?（2-an）-lg?2=（-lg?2）?2n-1
∴an=2-2（n∈N*）为所求?（13分）．
解析分析：（1）依题意：an+1=bn+1+cn+1=aan+an+ban2，将n取1，2，构建方程组，即可求得a，b的值，从而可得an+1与an满足的关系式；（2）证法（Ⅰ）先证明an+1=2an-an2=-（an-2）2+2＜2，于是an＜2，再用作差法证明an+1＞an，从而可得结论；方法（Ⅱ）用数学归纳法证明，关键是假设n=k时，ak＜ak+1＜2成立，利用函数f?（x）=-x2+2x=-（x-2）2+2在[0，2]上为增函数，可证得ak+1＜ak+2＜2成立；（3）由an+1=2an-an2，可得{lg?（2-an+1）-lg2}为等比数列，公比为2，首项为-lg?2，从而可得结论．
点评：本题考查数列的关系式，数学归纳法的应用，数列的函数特征，函数的单调性的应用，数列通项公式的求法，考查转化思想，逻辑推理能力．