已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,且D,E,F分别为BC,BB1,AA1的中点.(I)?求证:平面B1FC∥平面EAD;(II)求证:BC1⊥平面EA

发布时间:2020-07-31 18:51:12

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,且D,E,F分别为BC,BB1,AA1的中点.
(I)?求证:平面B1FC∥平面EAD;
(II)求证:BC1⊥平面EAD.

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证明:(Ⅰ)由已知可得AF∥B1E,AF=B1E,
∴四边形AFB1E是平行四边形,
∴AE∥FB1,…(1分)
∵AE?平面B1FC,FB1?平面B1FC,
∴AE∥平面B1FC;????????…(2分)
又?D,E分别是BC,BB1的中点,
∴DE∥B1C,…(3分)
∵ED?平面B1FC,B1C?平面B1FC,
∴ED∥平面B1FC;??????????…(4分)
∵AE∩DE=E,AE?平面EAD,ED?平面EAD,…(5分)
∴平面B1FC∥平面EAD.…(6分)
(Ⅱ)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴C1C⊥面ABC,又∵AD?面ABC,
∴C1C⊥AD.…(7分)
又∵直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是BC边中点,
∴△ABC是正三角形,∴BC⊥AD,…(8分)
而C1C∩BC=C,CC1?面BCC1B1,BC?面BCC1B1,
∴AD⊥面BCC1B1,…(9分)
故?AD⊥BC1.…(10分)∵四边形BCC1B1是菱形,
∴BC1⊥B1C,…(11分)
而DE∥B1C,故?DE⊥BC1,…(12分)
由AD∩DE=D,AD?面EAD,ED?面EAD,
得???BC1⊥面EAD.…(13分)
解析分析:(I)根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,结合D,E,F分别为BC,BB1,AA1的中点,由三角形的中位线定理,易得AE∥FB1,DE∥B1C,进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD;(II)根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,结合D,E,F分别为BC,BB1,AA1的中点,我们可判断出△ABC是正三角形,进而得到AD⊥BC1,DE⊥BC1,结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD.

点评:本题考查的知识点是平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,其中(I)的关键是证得AE∥FB1,DE∥B1C,(II)的关键是证得AD⊥BC1,DE⊥BC1.
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