解答题已知公差d为正数的等差数列{an}和公比为q(q>1)的等比数列{bn}.
(1)若a1>0,且对一切n∈N*恒成立,求证:d≤a1q-a1;
(2)若d>1,集合{a3,a4,a5}∪{b3,b4,b5}={1,2,3,4,5},求使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p的值.
网友回答
解:(1)∵,∴,∵an>0,
∴d≤an(q-1)对一切n∈N*恒成立.∴d≤an(q-1)的最小值,又d>0,q>1,
∴d≤a1(q-1).
(2)∵1,2,3,4,5这5个数中成等比且公比q>1的三数只能为1,2,4
∴只能是b3=1,b4=2,b5=4,a3=1,a4=3,a5=5,
∴an=a3+(n-3)d=2n-5,bn=b3qn-3=2n-3.
∵,∴,
∴,∴.∵p>0,
∴n=1,2显然成立
当n≥3时,∴,∴
∴
∴使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3解析分析:(1)由题设条件知,再由an>0,知d≤a1(q-1).(2)由题设条件知an=a3+(n-3)d=2n-5,bn=b3qn-3=2n-3.再由,知,由此入手能够推导出使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3.点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.