若函数f（x）=x3-3x-k在R上只有一个零点，则常数k的取值范围是________．

网友回答

（-∞，-2）

解析分析：令f′（x）=0，解得 x=1或 x=-1，由导数的符号可得函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故f（-1）是函数的极小值．由条件可得f（1）＞0，由此求得常数k的取值范围．

解答：求导函数可得f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，解得 x=1或 x=-1．利用导数的符号可得 函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．故f（-1）是函数的极大值，f（1）是函数的极小值．由函数f（x）=x3-3x-k可得此函数的值域为R．再由函数f（x）=x3-3x-k在R上只有一个零点，可得极小值f（1）＞0，即1-3-k＞0，解得 k＜-2，故常数k的取值范围是（-∞，-2），故