请你设计一个纸盒.如图所示,ABCDEF是边长为30cm的正六边形硬纸片,切去阴影部分所示的六个全等的四边形,再沿虚线折起,正好形成一个无盖的正六棱柱形状的纸盒,G、H分别在AB、AF上,是被切去的一个四边形的两个顶点,设AG=AH=x(cm).(1)若要求纸盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)若要求纸盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求此时纸盒的高与底面边长的比.
网友回答
解:(1)由平面图形知,正六棱柱的底面正六边形的边长为(30-2x),
根据平面图形中的小阴影四边形的最大角为∠HAG=120°,可得正六棱柱的高为,
所以纸盒的侧面积S==,x∈(0,15),
因为该二次函数开口向下,且对称轴方程为,
所以当cm时,侧面积S最大,最大侧面积为(cm2).?
(2)因纸盒的底面是边长为(30-2x)的正六边形,
所以底面积为S=.
所以纸盒的容积V==,x∈(0,15),
由=0,得x=5,或x=15(舍去),
列表:
x(0,5)5(5,15)V'(x)+0-V(x)↗极大值9?000↘所以当x=5cm时,容积V最大,此时纸盒的高与底面边长的比为=.
解析分析:(1)由AG=AH=x,得到正六棱柱的底面正六边形的边长为(30-2x),因为正六边形的一个内角为120°,由此可解得正六棱柱的高为,然后直接利用正六棱柱的侧面积公式写出侧面积,运用二次函数求最值;(2)求出边长为(30-2x)的正六边形的面积,则纸盒的容积V可求,求导后利用导数求最大值,并求出当容积最大时的x的值,从而得到纸盒的高与底面边长的比.
点评:本题考查了导数在最大值最小值中的应用,考查了正六边形的面积的求法,解答此题的关键是用x表示纸盒的高,同时需要注意的是实际问题要注明有实际意义的定义域,此题是中档题.