已知a为实数,函数f(x)=x3-ax2(x∈R).(1)若f′(1)=5,求a的值及曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[0,2]

发布时间:2020-08-01 01:46:14

已知a为实数,函数f(x)=x3-ax2(x∈R).
(1)若f′(1)=5,求a的值及曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.

网友回答

解:(1)求导数可得f′(x)=3x2-2ax,
∵f′(1)=5,∴3-2a=5,∴a=-1
又当a=-1时,f(x)=x3+x2,∴f(1)=2,
所以,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-2=5(x-1),即y=5x-3.(5分)
(2)令f′(x)=3x2-2ax,解得x1=0,x2=,
当≤0,即a≤0时,在(0,2)上f′(x)>0,f(x)在[0,2]上为增函数,∴f(x)max=f(2)=8-4a;
当,即a≥3时,在(0,2)上f′(x)<0,f(x)在[0,2]上为减函数,∴f(x)max=f(0)=0;
当0<<2,即0<a<3时,在(0,)上f′(x)<0,在(,2)上f′(x)>0,
故f(x)在[0,]上为减函数,在[,2]上为增函数,
故当f(2)≥f(0),即8-4a≥0,即0<a<2时,f(x)max=f(2)=8-4a;
当f(2)<f(0),即8-4a<0,即2<a<3时,f(x)max=f(0)=0,
综上所述,f(x)=??????(13分)

解析分析:(1)求导函数,利用f′(1)=5,确定a的值,从而可得切点坐标,即可求得切线的方程;(2)求导函数,分类讨论,确定函数的单调性,即可求得函数的最值.

点评:本题考查导数知识的运用,考查切线方程,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
以上问题属网友观点,不代表本站立场,仅供参考!