已知椭圆的离心率为，右焦点F也是抛物线y2=4x的焦点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l与C相交于A、B两点．①若，求直线l的方程；②若动点P满足，问动点P的轨迹能否

网友回答

解：（1）根据F（1，0），即c=1，据得，故，
所以所求的椭圆方程是．
（2）①当直线l的斜率为0时，检验知．设A（x1，y1），B（x2，y2）．，
根据得（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2）得y1=-2y2．
设直线l：x=my+1，代入椭圆方程得（2m2+3）y2+4my-4=0，
故，得，
代入得，即，
解得，故直线l的方程是．
②问题等价于是不是在椭圆上存在点P使得成立．
当直线l是斜率为0时，可以验证不存在这样的点，
故设直线方程为l：x=my+1．
用①的设法，点P点的坐标为（x1+x2，y1+y2），
若点P在椭圆C上，则，
即，
又点A，B在椭圆上，故，
上式即，即2x1x2+3y1y2+3=0，
由①知x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1=，
代入2x1x2+3y1y2+3=0得，
解得，即．
当时，，；
当时，，．
故C上存在点使成立，
即动点P的轨迹与椭圆C存在公共点，
公共点的坐标是．
解析分析：（1）根据抛物线求得焦点F的坐标，求得椭圆的才，进而利用离心率求得a，则b可求得，进而求得椭圆的方程．（2）①当直线l的斜率为0时利用可求得y1=-2y2．设出直线l的方程代入椭圆的方程消去x，利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2利用建立方程求得m，则直线l的方程可得．②问题可转化为是不是在椭圆上存在点P使得成立．当直线l是斜率为0时，可以验证不存在这样的点，故设直线方程，用①的设法，可推断出点P点的坐标，代入椭圆方程把A，B坐标代入椭圆的方程，整理求得2x1x2+3y1y2+3=0，利用（1）中y1+y2和y1y2建立等式求得m，最后分别进行验证推断出结论．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和推理能力，运算能力．