已知椭圆的离心率为,长轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)试直线y=kx+1交椭圆于不同的两点A、B,以AB为直径的圆恰过原点O,求直线方程.
网友回答
解:(1)设椭圆的半焦距为c,
∵椭圆的离心率为,长轴长为2
∴,
∴
∵a2=b2+c2
∴b=1?(2分)
∴所求椭圆方程为??(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去y并整理得(1+3k2)x2+6kx=0
则△=(6k)2-4(1+3k2)×0>0,
解得k≠0???(5分)
故,x1x2=0?????(8分)
∵以AB为直径的圆恰过原点O
∴
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=(10分).??
∴??
∴直线方程为(12分)
解析分析:(1)根据椭圆的几何性质,求出几何量,即可得到椭圆的方程;(2)直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理结合以AB为直径的圆恰过原点O,求得切线向量,即可求得直线方程.
点评:本题重点考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是借助于韦达定理,将以AB为直径的圆恰过原点O,转化为.