解答题已知数列{an}满足：a1=-5，an+1=2an+3n+1，已知存在常数p，q

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解：（1）由条件令，an+1+p（n+1）+q=k（an+pn+q），
则：an+1=kan+（kp-p）n+kq-q-p
故：?
又a1+p+q=2
∴，∴（5分）
（2）计算知a1=-5，a2=-6，a3=-5，a4=0，a5=13，
故猜测n≥5，an＞0即2n＞3n+4，下证．
（i）当n=5成立
（ii）假设n=k（k≥5）成立，即2k＞3k+4
那么2k+1＞2?（3k+4）=6k+8＞
故n=k+1成立．
由（i）、（ii）可知命题成立．
故an=0的解为n=4．（4分）
（3）由（2）可得，当n≤3时，|a1|+|a2|+…+|an|=-（a1+a2+a3）+a4+a5+…+an=a1+a2+…+an-2（a1+a2+a3）
=（4分）解析分析：（1）假设存在，利用等比的性质建立方程，根据同一性求参数的值，即可求解（2）计算可求a1，a2，a3，a4，a5，猜测n≥5，an＞0，然后利用数学归纳法进行证明，结合计算即可求解满足条件的n（3）由（2）可得，当n≤3时，|a1|+|a2|+…+|an|=-（a1+a2+a3）+a4+a5+…+an=a1+a2+…+an-2（a1+a2+a3），结合（1）可求点评：本题考查等比关系的确定，分组求和方法及等差数列、等比数列的求和公式的应用，数学归纳法的应用是解答（2）的关键，