已知函数f?（x）=（1）判断f?（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）若关于x的方程f?（x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；（3）若关于x

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解：（1）当x＞0时，f （x）==
设0＜x1＜x2
∴
==
∵0＜x1＜x2
∴2（x1-x2）＜0，（2+x1）（2+x2）＞0
∴
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增
（2）当x∈[2，3]时，f（x）==
∴4≤2+x≤5，
∴
∵f（x）=k在[2，3]上有解，则
（3）f（x）=kx2有四个根，即（*）有四个根
当x=0时，是方程（*）的1个根
则有3个不为0的根
而结合函数g（x）=的图象可知满足条件时有
∴k＞1

解析分析：（1）当x＞0时，f （x）==，利用单调性的定义设0＜x1＜x2，判定f（x1）与f（x2）的大小即可（2）当x∈[2，3]时，f（x）==结合x∈[2，3]可求f（x）的范围，若f（x）=k在[2，3]上有解，则f（x）的范围即是k的范围（3）f（x）=kx2有四个根，即（*）有四个根，当x=0时，是方程（*）的1个根，则只要有3个不为0的根，而结合函数g（x）=的图象可求

点评：本题主要考查了函数的单调性的判断，函数值域的求解，方程的根与函数交点的相互转化，体现了分类讨论、转化思想与数形结合思想在解题中的应用