解答题已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q＞0）．
（1）设bn=an+1-an（n∈N*），证明：数列{bn}是等比数列；
（2）试求数列{an}的通项公式；
（3）若对任意大于1的正整数n，均有an＞bn，求q的取值范围．
网友回答
解：（1）由an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）得，an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1（n≥2）．
又b1=a2-a1=1，q≠0，bn≠0．
所以，{bn}是首项为1，公比为q的等比数列
（2）由（1）有，bn=qn-1
又an-a1=（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+q+…+qn-2（n≥2）
所以，当n≥2时，．
上式对n=1显然成立．故有．
（3）q=1符合题意；
若q≠1，
或
解得：q∈（0，1）∪（1，2）．
综上，q∈（0，2）..解析分析：（1）将已知递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{bn}是等比数列．（2）先利用等比数列的通项公式求出bn，再用叠加法求出数列{an}的通项公式．（3）将两个数列的通项代入不等式得到关于d的不等式，将不等式因式分解，求出d的范围．点评：本题考查证明一个数列是等比数列的方法是利用等比数列的定义；利用等比数列的前n项和的公式时，一定注意公比为1时要分类讨论．