在数列{an}中,已知a1=-1,an+1=2an-n+1(n=1,2,3,…).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)为数列{bn}的前n项和,求;
(3)若总存在正自然数n,使Sn+n-2bn<m成立,求m的取值范围.
网友回答
解:(1)an+1=2an-n+1,∴an+1-(n+1)=2(an-n),∴,
又a1-1=-2,∴数列{an-n}是以2为公比、以-2为首项的等比数列,
∴an-n=(-2)?2n-1=-2n,∴an=n-2n
(2)由(1)得:,∴,∴,
令,则,
两式相减得:
∴,即,∴=2.
(3)∵
令,则,
当x≥1时,,
∴f(x)在[1,+∞)单调递减,∴Sn+n-2bn单调递增,∴,
∴,∴若总存在正自然数n,使Sn+n-2bn<m成立,则.
解析分析:(1)将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-(n+1)=2(an-n),从而可得数列{an-n}是等比数列,进而可得数列{an}的通项公式;(2)由(1)结论可求出bn,由通项公式的形式可以看出,本题宜先用分组求和的技巧,然后对其一部分用错位减法求和.最后再求极限. (3)构建函数,用导数的方法可知f(x)在[1,+∞)单调递减,从而Sn+n-2bn单调递增.要使总存在正自然数n,Sn+n-2bn<m成立,只需求 Sn+n-2bn的最大值,从而得解.
点评:本题意数列递推式为载体,考查数列的通项及求和,是一道综合性较强的题,要观察分析,判断,选择合适的方法,如(1)的求解要从证明的结论中找变形方向;(2)中的求解要边变形边观察,化整为零,分块求解,这对答题者分析判断的能力要求较高;(3)则利用函数的思想,研究其单调性