解答题已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的距

发布时间:2020-07-09 02:14:00

解答题已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的距离之和为,且其焦距为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A,B.问是否存在以A,B为直径的圆过椭圆的右焦点F2.若存在,求出m的值;不存在,说明理由.

网友回答

解:(Ⅰ)依题意可知
又b2=a2-c2,解得------------------(2分)
则椭圆方程为.---------------------(4分)
(Ⅱ)联立方程消去y整理得:3x2+4mx+2m2-2=0(6分)
则△=16m2-12(2m2-2)=8(-m2+3)>0
解得①--------------------(7分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,
又F2(1,0),∴,
若存在,则,即:(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,∴x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0②
又y1=x1+m,y2=x2+m,∴
代入②有
∴,
解得或------------------(11分)
检验都满足①,∴------------------(12分)解析分析:(Ⅰ)利用椭圆上的任意一点到它的两个焦点的距离之和为,且其焦距为2,建立方程组,求得几何量,从而可求椭圆C的方程;(Ⅱ)直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,及向量知识,即可求得结论.点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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