解答题己知f（x）=Inx-ax2-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），两点，AB中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．
网友回答
解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2-bx
f（x）在（0，+∞）上递增，∴≥0对x∈（0，+∞）恒成立
即对x∈（0，+∞）恒成立，只需???…（2分）
∵x＞0，?当且仅当时取=
∴
∴b的取值范围为??????…（4分）
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞）
∴=…（6分）
∴0＜x＜1时，f′（x）＞0当x＞1时，f′（x）＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1）=0即
∴函数f（x）只有一个零点???????…（8分）
（Ⅲ）由已知得??两式相减，得
?
由及2x0=x1+x2，得
==
==…（10分）
令∈（0，1）且（0＜t＜1）
∴
∴?（t）在（0，1）上递减，∴?（t）＞?（1）=0
x1＜x2，f′（x0）＜0（12分）解析分析：（Ⅰ）依题意可得f（x）=lnx+x2-bx，由f（x）在定义域（0，+∞）上递增，可得≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即对x∈（0，+∞）恒成立，只需???（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），对函数求导，利用导数的知识判断函数f（x）在区间（0，1），（1，+∞）上单调性可知当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1+1=0，当x≠1时，f（x）＜f（1）=0即函数f（x）只有一个零点???????（Ⅲ）由已知得??两式相减，得? 由及2x0=x1+x2，得=，结合导数的知识可证明点评：导数与函数的单调性的结合是导数最为基本的考查，而函数的恒成立问题常转化为利用相关知识求解函数的最值问题，体现了转化思想在解题中的应用，还考查了运用基本知识进行推理论证的能力