解答题已知函数，数列{an}满足an+1=f'n（an），a1=3．（1）求a2，a3

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解：（1）f'n（x）=x2-（n+1）x+1，（n∈N*）
∴an+1=an2-（n+1）an+1
∵a1=3．
∴a2=a12-2a1+1=4
a3=a22-3a1+1=5
a4=a32-4a3+1=6
（2）猜想an=n+2
当n=1时，显然成立
假设当n=k（k≥1）时成立，即有ak=k+2
则当n=k+1时，ak+1=ak2-（k+1）ak+1=（k+2）2-（k+1）（k+2）+1
=k+3=（k+1）+2
即当n=k+1时，猜想也成立．
所以对一切n∈N*，an=n+2均成立．
（3）证明：当k≥2时，=（）
所以n≥2时，有＜[（）++…（）]
=（）＜
又=1，
所以，
原不等式成立．解析分析：（1）由已知，对fn（x）求导，由an+1=f'n（an）应得出an+1=an2-（n+1）an+1，利用此递推式求a2，a3，a4；（2）由（1）求得的结果，应猜想an=n+2，可用数学归纳法证明．（3）当k≥2时，=（），对不等式右边的项放缩后，化简整理，寻求出与的大小关系，来证明不等式．点评：本题是函数、数列、不等式的综合．考查了计算、归纳猜想、证明的数学思想方法，放缩法证明不等式（结合了裂项法数列求和）．