已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）求证：；
（3）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行．
网友回答
解：（1）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，∴，且x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
故当x=1时，f（x）取最大值f（1）=-1．
（2）由（1）知-x+lnx≤-1，∴lnx≤x-1，取，可得；
以上各式相加得：ln（n+1）＜1+++…+（n∈N+）
（3）直线P1P2的斜率为；
由（1）知-x+lnx≤-1，当且仅当x=1时取等号，
∴，
同理，由，可得；
故P1P2的斜率，
又在x∈（x1，x2）上，，
所以f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行．
解析分析：（1）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，易求得f′（x），且f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减；故可求得f（x）的最大值．（2）由（1）知-x+lnx≤-1，∴lnx≤x-1，当取时，可得；把以上各式相加，可得证明．（3）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；由（1）知-x+lnx≤-1，当且仅当x=1时取等号；可得+＜-1，整理可得＜，同理，由，得；所以P1P2的斜率，在x∈（x1，x2）上，有，可得结论．
点评：本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，是较难的题目．