解答题斜三棱柱ABC-A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A-B1B-C为30°
（1）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；
（2）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P-BB1C为正三棱锥，并求P到平面BB1C距离．
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解：（1）由侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C
取BB1的中点D，AC⊥平面BB1C1C
∴AC⊥BB1
∴BB1⊥平面ADC
∴AD⊥BB1
∴∠CDA为二面角A-BB1-C的平面角，∴∠CDA=30°，
∵CD=，∴AC=1
连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，
在Rt△ACB1中tan∠AB1C=，
（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，
在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，，
则PO∥AC，且PO=，
∵AO⊥平面BB1C，
∴PO⊥平面BB1C?且 BB1C为等边三角形，
∴三棱锥P-BB1C为正三棱锥，
且P到平面BB1C的距离为PO，PO=解析分析：（1）由侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C，则有∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△ACB1中可求得tan∠∠AB1C．（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，则易知三棱锥P-BB1C为正三棱锥，故可求．点评：本题以斜三棱柱为载体，考查线面角，考查点面距离，属于基础题．