已知经过点P（0，2）且以为一个方向向量的直线l与双曲线3x2-y2=1相交于不同两点A、B．（1）求实数a的取值范围；（2）若点A、B均在已知双曲线的右支上，且满足

网友回答

解：（1）由已知，直线l的方程为??y=ax+2．
由??消去y，并整理得??（3-a2）x2-4ax-5=0．①
依题意得?????解得?且且．②
因此??所求的实数a的取值范围为???．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为点A、B均在已知双曲线的右支上，
所以?（1）中方程①具有两个不同的正实数根x1、x2，即x1＞0、x2＞0，
于是?????解得?．
又???，即???（x1，y1）?（x2，y2）=0，即??x1x2+y1y2=0，
而??y1y2=（ax1+2）（ax2+2）=a2x1x2+2a（x1+x2）+4，
所以??x1x2+a2x1x2+2a（x1+x2）+4=0，即?（1+a2）x1x2+2a（x1+x2）+4=0，
则???，解得??．
又因为??，所以??．
因此??所求实数a的值为??．
（3）假设存在实数a，使A、B两点关于直线对称，则直线y=ax+2与相互垂直．
因为直线y=ax+1与的一个法向量分别为为（a，-1）、（1，-2），由题意，向量（a，-1）、（1，-2）也相互垂直，即有??（a，-1）?（1，-2）=0，即?a+2=0，解得a=-2．（注：由直线y=ax+2与相互垂直得??，解得a=-2．这样做也行．）
所以直线l的方程为y=-2x+2．
联立方程组??消去y，并整理得??x2-8x+5=0．
这里△=（-8）2-20=44＞0，且x1+x2=8，x1x2=-5，
所以，则．
设线段AB的中点为M，则??M（4，-6）．
由于AB中点M（4，-6）也在直线上，
因此??存在实a=-2，可使A、B两点关于直线对称．
解析分析：（1）因为直线l经过点P（0，2）且以为一个方向向量，所以可写出点斜式方程，与双曲线方程联立，因为直线与双曲线相交于不同两点，利用韦达定理，即可求出实数a的取值范围．（2）若点A、B均在已知双曲线的右支上，则（1）中直线与双曲线联立得到的关于x的一元二次方程有两正根，除满足△≥0外，还需满足两根之和大于0，两根之积大于0，把a的范围进一步缩小，再由，求出a值．（3）先假设存在实数a，使得A、B两点关于直线对称，则直线为线段AB的垂直平分线，直线l的法向量与直线的法向量互相垂直，得到a的值，再求出直线l的方程，与双曲线方程联立，求出A，B点的中点M坐标，判断M点是否再直线，若在，则假设成立，否则，假设不成立．

点评：本题主要考查了韦达定理在直线与双曲线位置关系判断中的应用，注意设而不求思想的应用．