解答题设f（x）=x2，g（x）=8x，数列{an}（n∈N*）满足a1=2，（an+1-an）?g（an-1）+f（an-1）=0，记．（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n为何值时，bn取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Sn．
网友回答
解：（Ⅰ）由已知，得（an+1-an）?8（an-1）+（an-1）2=0．
即（an-1）（8an+1-7an-1）=0．????????????????
∵a1=2≠1，∴a2≠1，同理a3≠1，…，an≠1．
∴8an+1=7an+1．??????????????????????????
即8（an+1-1）=7（an-1），
∴数列{an-1}是以a1-1=1为首项，为公比的等比数列．??
（Ⅱ）由（1），得．
∴．?????????????????
则．
∵，设≥1，则n≤6．
因此，当n＜6时，bn＜bn+1；当n=6时，b6=b7，当n＞6时，bn＞bn+1．
∴当n=6或7时，bn取得最大值．????????????????????????
（Ⅲ）
相减得：=
=
∴．解析分析：（I）求出g（an-1），f（an-1）将它们代入已知等式得到关于an的等式，判断出各项都不是1，将其变形得到8（an+1-1）=7（an-1），利用等差数列的定义得到证明．（II）作出数列{bn}终相邻两项的商，通过讨论n判断出商与1的大小，即得到数列的单调性，进一步得到bn取最大值时n的值．（III）由于数列{bn}的通项特点是一个等差数列与一个等比数列的积，利用错位相减的方法求出数列的前n项和．点评：求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组法．