解答题如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
（1）写出a1，a2，a3；
（2）求出点An（an，0）（n∈N*）的横坐标an关于n的表达式；并用数学归纳法证明．
网友回答
解（1）a1=2，a2=6，a3=12；
（2）依题意，得 ，，由此及yn2=3xn得 ，即（an-an-1）2=2（an-1+an）．
由（1）可猜想：an=n（n+1）n∈N*
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当n=1时，命题显然成立；
（2）假定当n=k时命题成立，即有an=k（k+1），则当n=k+1时，由归纳假设及（ak+1-ak）2=2（ak+ak+1）得[ak+1-k（k+1）]2=2[k（k+1）+ak+1]，即（ak+1）2-2（k2+k+1）ak+1+[k（k-1）]?[（k+1）（k+2）]=0，
解之得ak+1=（k+1）（k+2），（ak+1=k（k-1）＜ak不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．解析分析：（1）由题意可知直线A0P1为y=x，然后与y2=3x联立可得到P1的坐标，再由△A0A1P1是正三角形可得到A1的坐标得到a1的值，同理可得到a2、a3．（2）先根据题意可得到关系 ，，然后根据yn2=3xn得（an-an-1）2=2（an-1+an），从而可猜想数列通项公式an=n（n+1），再由数学归纳法证明即可．点评：本题主要考查求数列通项公式、数列的单调性问题以及二次函数的恒成立问题，考查综合运用能力．