解答题数列{bn}满足b1=1，bn+1=2bn+1，若数列{an}满足a1=1，（n≥2且n∈N*）．
（1）求b2，b3及数列{bn}的通项公式；
（2）试证明：（n≥2且n∈N*）；
（3）求证：．
网友回答
解：（1）∵b1=1，bn+1=2bn+1，
∴b2=2×1+1=3，
b3=2×3+1=7，
∵bn+1=2bn+1，∴bn+1+1=2（bn+1），
∴=2?2n-1=2n，
∴．
（2）∵a1=1，（n≥2且n∈N*），
∴，
，
∴，
∴=，
∴（n≥2且n∈N*）．
（3）由（2）知
=
=
=?an+1
=
=2?
=2（），
而=1++…+，
当k≥2时，=2（），
∴
=1+2[（）+（）+…+（）
=1+2（）＜．解析分析：（1）由b1=1，bn+1=2bn+1，分别令n=1和n=2，先求出b2和b3，再由bn+1=2bn+1，利用构造法求出{bn}的通项公式．（2）由a1=1，（n≥2且n∈N*），变形得到，由此能够证明：（n≥2且n∈N*）．（3）由（1）知：=2（），再由=1++…+，利用放缩法能够证明．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．