在数列{an}和{bn}中，a1=1，b1=2，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4和b2，b3

网友回答

解：（1）令n=1可得2b1=a1+a2，a22=b1b2，代入条件得：
，解得a2=3，，
同理得a3=6，b3=8，a4=10，．（4分）
（2）猜想：，．
用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，结论显然成立
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即，
当n=k+1时，ak+1=2bk-ak==bk+1=
所以当n=k+1时，结论也成立
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，，bn=都成立．（8分）
（3）欲证
即证
下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，左=，右=，不等式显然成立
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即
当n=k+1时
而=
所以
即
则n=k+1时不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，都有
亦即．（12分）
解析分析：（1）令n=1可得2b1=a1+a2，a22=b1b2，代入条件求出a2，b2，同理令n=2，3即可求得a3，a4和b2，b3，b4（2）由（1）猜想：，．再利用数学归纳法证明即得；（3）通过分析法先分析，欲证即证，下面用数学归纳法证明．

点评：本小题主要考查数列的函数特性、数列与不等式的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．利用数学归纳法证明数学命题或不等式时，要注意由归纳假设n=k成立推到n=k+1是数学归纳法的关键．