解答题已知函数f（x）=x3+x2，数列|xn|（xn＞0）的第一项xn=1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（xn+1，f（xn+1））处的切线与经过（0，0）和（xn，f?（xn））两点的直线平行（如图）．
求证：当n∈N*时，
（Ⅰ）xn2+xn=3xn+12+2xn+1；
（Ⅱ）．
网友回答
解：证明：因为f'（x）=3x2+2x，
所以曲线y=f（x）在（xn+1，f（xn+1））处的切线斜率kn+1=3xn+12+2xn+1．
因为过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线斜率是xn2+xn，
所以xn2+xn=3xn+12+2xn+1．
因为函数h（x）=x2+x当x＞0时单调递增，
而xn2+xn=3xn+12+2xn+1≤4xn+12+2xn+1=（2xn+1）2+2xn+1，
所以xn≤2xn+1，
即，
因此．
又因为xn2+xn≥2（xn+12+xn+1），
令yn=xn2+xn，
则．
因为y1=x12+x1=2，
所以．
因此，
故．解析分析：（1）曲线x=f（x）在（xn+1，f（xn+1））处的切线与经过（0，0）和（xn，f?（xn））两点的直线平行，利用该条件可建立斜率相等的关系，故得到xn2+xn=3xn+12+2xn+1（2）不等关系的证明想到利用函数的单调性建立不等关系．点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力．