解答题已知函数f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点,且f(x)的一

发布时间:2020-07-09 08:52:21

解答题已知函数f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点,且f(x)的一个极值为-4
(1)求p、q的值,并求出f(x)的单调区间;
(2)若关于x的方程f(x)=t有3个不同的实根,求t的取值范围;
(3)令g(x)=f′(ex)+x-(t+12)ex,是否存在实数M,使得t≤M时g(x)是单调递增函数.若存在,求出M的最大值,若不存在,说明理由.

网友回答

解:(1)设切点(a,0)(a≠0),f(x)=x(x2+px+q)
由题意得:方程x2+px+q=0有两个相等实根a
故可得f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x(2分)f'(x)=3x2-4ax+a2=(x-a)(3x-a)
∵f'(a)=0≠-4,∴(3分)
于是,∴a=-3
∴f(x)=x3+6x2+9x∴p=6,q=9(4分)f'(x)=(x+3)(3x+3)
x(-∞,-3)-3(-3,-1)1(-1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大↘极小↗∴f(x)的单调递增区间是:(-∞,-3),(-1,+∞)
单调递减区间是:(-3,-1)(6分)
(2)由(1)知f(x)在x=-3处取得极大值f(-3)=0,在x=-1处取得极小值f(-1)=-4
作f(x)的大致形状及走向如图所示:易知当t∈(-4,0)时,f(x)=t有3个不同的实根.(9分)
(3)g(x)=f'(ex)+x-(t+12)ex=3e2x+12ex+9+x-(t+12)ex=3e2x-tex+x+9g'(x)=6e2x-tex+1(11分)
若g(x)在R上递增,即g'(x)≥0,当x∈R恒成立(12分)
即(当x∈R时恒成立)(13分)
由于,当且仅当,即时取到
∴(14分)
∴M最大值为(15分)解析分析:(1)根据函数求导公式求函数导数,判断函数的单调性,画图,根据图表判断函数的单调性.(2)根据函数有3个不同的实根,判断函数极值的正负,函数的图象应与x轴有三个交点,所以根据函数图象的大致走向判断极值,判断t的取值范围..(3)先求出导数,判断函数的单调性,再利用恒成立问题求最值,用到均值不等式.点评:该题考查函数的求导,考查利用恒成立问题求最值,属简单题.注意解答过程中要有图表,根据图表判断函数的单调性
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