解答题椭圆上有两点P，Q，O是坐标原点，若OP，OQ的斜率之积为-．
（1）求证：|OP|2+|OQ|2是定值．
（2）求PQ的中点M的轨迹方程．
网友回答
（1）证明：设P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ）．
∵OP，OQ的斜率之积为-，
∴
∴cos（α-β）=0，
∴α-β=2kπ±，k∈Z．
∴|OP|2+|OQ|2=16（cosα）2+4（sinα）2+16（cosβ）2+4（sinβ）2=20（cosβ）2+20（sinβ）2=20为定值；
（2）解：设M（x，y），则x=2cosα+2cosβ，即=cosα+cosβ①，y=sinα+sinβ②
∴①2+②2可得：=2，即．解析分析：（1）利用参数设出点的坐标，根据OP，OQ的斜率之积为-，可得α-β=2kπ±，进而可得|OP|2+|OQ|2是定值；（2）确定PQ的中点M的坐标，消去参数，即可求得PQ的中点M的轨迹方程．点评：本题考查椭圆的方程，考查轨迹方程，考查参数的运用，正确设出点的坐标是关键．