在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，截面ABC1D1为正方形．（1）求长方体ABCD-A1B1C1D1的体积；（2）求证：

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满分（14分）．
（1）解：在直角三角形AA1D1中，AA1=1，A1D1=AD=1，
∴．
∵截面ABC1D1为正方形，
∴．
∴长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=．
（2）证法一：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，
∴AB⊥平面AA1D1D．
∵A1D?平面AA1D1D，
∴AB⊥A1D．
∵AD=AA1，
∴四边形AA1D1D为正方形．
∴AD1⊥A1D．∵AB∩AD1=A，AB?平面ABC1D1，AD1?平面ABC1D1，
∴A1D⊥平面ABC1D1．
证法二：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，
∴AB⊥平面AA1D1D．
∵AB?平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1⊥平面AA1D1D．
∵AD=AA1，
∴四边形AA1D1D为正方形．
∴AD1⊥A1D．
∵平面ABC1D1∩平面AA1D1D=AD1，A1D?平面AA1D1D，
∴A1D⊥平面ABC1D1．
解析分析：（1）在直角三角形AA1D1中，求出AD1，通过截面ABC1D1为正方形，求出AB，然后求解长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V；  
（2）证法一：证明AB⊥A1D，AD1⊥A1D，通过AB∩AD1=A，AB?平面ABC1D1，AD1?平面ABC1D1，证明A1D⊥平面ABC1D1．
证法二：证明平面ABC1D1⊥平面AA1D1D，证明AD1⊥A1D，平面ABC1D1∩平面AA1D1D=AD1，A1D?平面AA1D1D，即可证明A1D⊥平面ABC1D1．


点评：本小题主要考查空间线面位置关系，几何体体积等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力，注意判定定理的应用．