解答题已知函数满足ax?f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列{an}满足，an+1=f（an），，n∈N*，证明数列{bn}是等比数列，并求出{bn}的通项公式．
网友回答
解：（Ⅰ）由ax?f（x）=2bx+f（x），，a≠0，得．…（2分）
由f（1）=1，得a=2b+1．…（3分）
由f（x）=2x只有一解，即，也就是2ax2-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，
∴4（1+b）2-4×2a×0=0
∴b=-1．…（5分）
∴a=-1．
故．…（6分）
（Ⅱ）解法一：∵，an+1=f（an），
∴，，，…（7分）
猜想，．…（8分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=，右边=，∴命题成立．…（10分）
②假设n=k时，命题成立，即；
当?n=k+1时，，
∴当?n=k+1时，命题成立．…（12分）
由①②可得，当n∈N*时，有．…（13分）
∵，
∴a1=2
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为bn=2n．…（14分）
解法二：∵，
∴…（8分）
即，…（10分）
∴即…（12分）
则数列{bn}是以b1=2为首项2为公比的等比数列，bn=2n，（n∈N*）…（14分）解析分析：（Ⅰ）先将函数化为，利用f（1）=1，得a=2b+1．根据f（x）=2x只有一解，可得2ax2-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，从而可求b，a的值；（Ⅱ）解法一：先猜想，．再用数学归纳法证明，关键是假设n=k时，命题成立，即；证明?n=k+1时，，从而得证，进而可求{bn}的通项公式；解法二：根据，，可得，利用，可得结论．点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查函数解析式的求解，考查数列通项公式的求解，考查数学归纳法的运用，正确理解题意是关键．