已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0且p为常数），过焦点F作直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）①求证：4x1x2=p2②若抛物线C的准线l与x轴交

网友回答

解：（1）设直线AB的方程为（k≠0）
（当?k=0时，显然不合题意）
联立
由韦达定理得：，即4x1x2=p2
当AB的斜率k不存在时，AB的方程为
此时，4x1x2=p2也成立．
（2）抛物线y2=2px的准线方程为，准线与x轴交点，A（x1，y1）（显然x1≠0）∵得
但y12=2px1由①知：，故有2px1=x1x2-x12
又x1≠0∴2p=x2-x1即有：|x2-x1|=2p

解析分析：（1）结合要证明的结果可联想到将A，B所在得直线方程与抛物线C的方程为y2=2px（p＞0且p为常数）联立然后利用根与系数的关系即可得证，而根据题意F（，0）故可利用点斜式写出直线AB的方程但要分斜率存在与否进行讨论．（2）根据题意易得再根据AB⊥AN可得kAB?kAN=-1再结合y12=2px1以及第一问的结论4x1x2=p2，化简即可得解．

点评：本题主要是对直线与圆锥曲线的综合问题的考查．解题的关键是第一问要对直线的斜率存在与否进行讨论而第二问要对AB⊥AN这一条件的常用运算技巧熟悉（即kAB?kAN=-1）在得出后结合要求的结果|x1-x2|故需利用点A在抛物线上以及第一问的结论再对上式代入化简求值！