已知数列{an}中，a2=a+2（a为常数），Sn为{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项．（Ⅰ）求a1，a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若b

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解：（Ⅰ）由已知得 ，
当n=1时，
S1=a1则2a1=a1+a，
得a1=a．
当n=3时，S3=a1+a2+a3
则2（a1+a2+a3）=3（a3+a）
∴a3=a+4
（Ⅱ）由a1=a、a2=a+2、a3=a+4，
猜想：an=a+2（n-1）
证明：
①当n=1时，
左边=a1=a，
右边=a+2（1-1）=a，
则当n=1时，等式成立，
当n=2时，
左边=a2=a+2=右边，
故当n=2时，等式成立．
②假设n=K时，等式成立，
即aK=a+2（K-1）则当n=K+1时，
aK+1=SK+1-SK=
∴（K-1）aK+1=kak-a
即aK+1=ak-
将aK=a+2（K-1）代入得
aK+1=a+2[（k+1）-1]，
∴当n=K+1时，等式也成立．由①②可知，对任何正整数n，
等式an=a+2（n-1）都成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知an=a+2（n-1）=2n，bn=3n；an?bn=2n3n；
Tn=2?3+4?32+8?33+…+（2n-2）?3n-1+2n?3n．①
2Tn=2?22+4?23+…+4（n-1）?2n+4n?3n+1．②
②-①得，
．

解析分析：（Ⅰ）由Sn是nan与na的等差中项．得到Sn、nan与na的关系式，从n=1依次代入整数值，再结合a2=a+2（a为常数），即可求出a1，a3；（Ⅱ）由a1，a2，a3的值与n的关系，归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，可采用数学归纳法来证明．（Ⅲ）通过（Ⅱ）可知an，若bn=3n且a=2，求出Tn前n项和的表达式，代入，利用极限的运算法则即可求极限值．

点评：本题中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．求和注意错位相减法，注意极限的求法与应用．