已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点P（1，0）处的切线与直线3x+y=0平行，（Ⅰ）求常数a、b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，4]上的最小值和最大值

网友回答

解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+2ax，
依题意有：f'（1）=3+2a=-3，
∴a=-3．
又f（1）=a+b+1=0
∴b=2．
综上：a=-3，b=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x3-3x2+2；f'（x）=3x2-6x
令f'（x）=0得：x=0，x=2
当0≤x≤4时，随x的变化，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

从上表可知：当x=2时，f（x）取最小值为f（2）=-2；
当x=4时f（x）取最大值是f（4）=18

解析分析：（Ⅰ）由题目条件知，点P（1，0）为切点，且函数在改点处的导数值为切线的斜率，从而建立关于a，b的方程，可求得a，b的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）确定了函数及其导数的解析式，通过探讨导数在区间[0，4]上的符号得函数的单调性，即可的函数在区间[0，4]上的最大值和最小值．

点评：本题主要考查了导数在最大值，最小值中的应用，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，是个中档题．