已知数列{an}满足a1=1，a2=λ（λ＜3且λ≠-2），且an+2=an+1+6an．（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}

网友回答

解析：（1）由an+2=an+1+6an得an+2+2an+1=3（an+1+2an）an+2-3an+1=-2（an+1-3an）…（4分）
由λ＜3是λ≠-2知a2+2a1≠0，a2-3a1≠0，故有
∴数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}都是等比数列．…（6分）
（2）由（1）知：an+1+2an=（λ+2）3n-1①an+1-3an=（λ-3）（-2）n-1②…（7分）
由①-②得5an=（λ+2）3n-1+（3-λ）（-2）n-15an+1=（λ+2）3n+（3-λ）（-2）n…（8分）
∴5（an+1-an）=（2λ+4）?3n-1+（3λ-9）?（-2）n-1＞0，又∵λ＜3，
化简得…（10分）
对于任意n∈N*，总有…（11分）
∴，解之得1＜λ＜3…（12分）
解析分析：（1）由等比数列的定义，将题设中的递推公式变形成（an+2+2an+1）：（an+1+2an）=常数的形式即得；同理可证得数列{an+1-3an}都是等比数列；（2）利用（1）中的结论，先求出an+1-an的表达式，化简得，再利用指数函数的性质建立关于λ的不等关系，即可解得λ的取值范围．

点评：本题考查了等比数列的定义，以及数列与不等式的综合，综合运用了分离参数法，难度一般．