已知椭圆C：．
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
网友回答
解：（1）由题意，2a=4，e==，∴a=2，c=
∴b==1
∴椭圆C的标准方程为；
（2）显然直线x=0不满足条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
直线代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
∵△=（16k）2-4×12×（1+4k2）＞0，∴k＜-或k＞
x1+x2=-，x1x2=
∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
由于∠AOB为锐角，x1x2+y1y2＞0，∴
∴2＜k＜2
∴直线L的斜率的取值范围是（-2，-）∪（，2）
解析分析：（1）利用椭圆的长轴长为4，离心率为，求得几何量，即可求得椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及∠AOB为锐角，建立不等式，即可求得直线l的斜率k的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．