已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n（n-1），n∈N*，令，且数列{bn}的前项和为Tn．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；
（2）若不等式（λ为常数）对任意正整数n均成立，求λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
网友回答
解：（1）由Sn=nan-n（n-1），n∈N*①
则当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2）②
①-②，得an=[nan-n（n-1）]-[（n-1）an-1-（n-1）（n-2）]
整理得，an-an-1=2（n≥2）…（3分）
所以，{an}为等差数列，且公差为2，an=1+2（n-1）=2n-1；?????????????????????
（2）
∴=
若不等式对任意正整数n均成立，则对任意正整数n均成立，
∵，当且仅当n=2∈N*时取“=”，
∴的最大值为5∴λ＜5；???????????????????????????????????
（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列
则（Tm）2=T1?Tn，即
所以，
从而，
所以，2m2-4m-1＜0，即
因为，m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时，n=12
故，当且仅当m=2，n=12时，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
解析分析：（1）根据Sn与an的固有关系an=，得出an-an-1=2，数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；?（2），裂项后求出Tn，再用分离参数法得出，λ小于的最小值即可．（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，列出关于m，n的方程，研究它的解情况．
点评：本题主要考查了等差关系的确定、等差数列的通项公式、数列裂项求和，数列的函数性质、基本不等式应用．考查了学生计算，综合分析问题，解决问题的能力．