设x1，x2是函数的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．（1）用a表示b2，并求出a的取值范围．（2）证明：．（3）若函数h（x）=f′（x）-2a（x-x1），证

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解：（1）∵f?（x?）=x3+x2-a2?x，
∴f′（x?）=a?x2+bx-a2?…（1分）
∵x1，x2是f?（x?）的两个极值点，
∴x1，x2是方程a?x2+bx-a2=0的两个实根（2分）
∵a＞0，∴x1x2=-a＜0，x1+x2=，
由条件|x1|+|x2|=2平方，可得x12+x22+2|x1x2|=4，
即（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=4，
∴，
∴b2=4a2-4a3?…（4分）
∵b2≥0，∴4a2-4a3≥0，
∴0＜a≤1…（5分）
（2）∵b2=4a2-4a3?（0＜a≤1），令g（a）=4a2-4a3，∴g'（a?）=8?a-12a2…（6分）
由g'（a）＞0，得0＜a＜，由g'（a）＜0，得＜a≤1．
∴g（a）在（0，）上递增，在（，1）上递减．…（8分）
∴g（a）在（0，1）上的最大值是g（）=．
∴g（a）≤．
∴b2≤．
∴|b|≤…（10分）
（3）∵x1，x2是方程a?x2+bx-a2=0的两个实根，
∴f′（x）=a（x-x1）（x-x2）．
∴h（x）=a（x-x1）（x-x2）-2a（x-x1）=a（x-x1）（x-x2-2）…（11分）
∴|h（x）|=a|x-x1||x-x2-2|≤…（12分）
∵x＞x1，∴x-x1＞0．
又∵x1＜0，∴x1?x2＜0，∴x2＞0．∴x2+2＞2．
又∵x＜2，∴x-x2-2＜0?…（13分）
∴|h（x?）|≤=．
又∵|x1|+|x2|=2，且x1＜0，x2＞0，∴x2-x1=2．
将其代入上式得|h（x?）|≤4a．…（14分）

解析分析：（1）借助条件：“|x1|+|x2|=2”由此入手建立b2=4a2-4a3，再由x1，x2是f（x）=的两个极值点，知x1，x2是f′（x）=ax2+bx-a2的两个根，从而能够求出a的取值范围．（2）由（1）知b2=（4-4a）a2，令g（a）=4a2-4a3，得到g′（x）=8?a-12a2利用导数研究其单调性和最大值，由此能够证明|b|≤．（3）h（x）=f′（x）-2a（x-x1）=a（x-x1）（x-x2-2），由x-x1＞0，x1x2=-a＜0，x1＜0，知x2＞0，x＜2，x-x2-2＜0，由此结合基本不等式能够证明|g（x）|≤4a．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、导数在最大值、最小值中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．