如图，四边形ABCD为矩形，△ACE为AC为底的等腰直角三角形，连接BE交AD、AC分别于F、N，CM平分∠ACB交BN于M，下列结论：（1）BE⊥ED；（2）AB=

网友回答

D

解析分析：连接DE，由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，根据圆周角定理的推论得到点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，再利用矩形的性质可得AE=ME，即①正确；再根据圆周角定理得到∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，易证△AEF≌△CED，即可得到AB=AF，即②正确；由②得到∠ABF=∠AFB=45°，求出∠EMC=∠MCB+45°，而∠ECM=∠NCM+45°，即③正确；根据等腰三角形性质求出∠EAM=∠AME，推出∠EAM=45°+∠MAN，∠AME=45°+∠BAM，即可判断（4）．

解答：连接DE．∵四边形ABCD为矩形，△ACE为AC为底的等腰直角三角形，∴∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，∴点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠AEB=∠CED，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=90°，∴BE⊥ED，故（1）正确；∵点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，∴∠AEF=∠CED，∠EAF=∠ECD，又∵△ACE为等腰直角三角形，∴AE=CE，在△AEF和?CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF=CD，而CD=AB，∴AB=AF，即（2）正确；∴∠ABF=∠AFB=45°，∴∠EMC=∠MCB+45°，而∠ECM=∠NCM+45°，∵CM平分∠ACB交BN于M，∴∠EMC=∠ECM，∴EC=EM，∴EM=EA，即（3）正确；∵AB=AF，∠BAD=90°，EM=EA，∴∠ABF=∠CBF=45°，∠EAM=∠AME，∵△AEC是等腰直角三角形，∴∠EAC=45°，∴∠EAM=45°+∠MAN，∠AME=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，∴∠BAM=∠NAM，∴（4）正确；故选D．

点评：本题考查了圆周角定理以及推论：同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦为直径；也考查了等腰三角形和矩形的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，通过做此题培养了学生的推理能力，此题综合性比较强，有一定的难度．