如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．
（1）求证：MN∥平面ABC；
（2）求证：CD⊥平面AA1B1B；
（3）试在BB1上求一点F，使A1B⊥平面C1DF，证明你的结论．
网友回答
证明：（1）取BC中点G，连NG、AG，
∵N是BC1的中点，G是BC的中点，
∴NG∥CC1，且NG=；又M是AA1的中点，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴MA∥CC1，且MA=．
∴MA∥NG且MA=NG，
∴MAGN是平行四边形，
∴MN∥AG．…（3分）
又AG?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC．??…（5分）
（2）∵AC=BC=1，D是的中点，∴CD⊥AB．又ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴平面AA1B1B⊥平面ABC，
∵CD?平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面AA1B1B．…（9分）
（3）作DE⊥A1B交A1B于E，延长DE交B1B于F，连接CF，不难证明A1B⊥平面C1DF，点F即为所求．…（12分）
事实上，∵CD⊥平面AA1B1B，A1B?平面AA1B1B，
∴A1B⊥CD，
又A1B⊥DF，CD∩DF=D，
∴A1B⊥平面C1DF．…（14分）
解析分析：（1）要证MN∥平面ABC，只需要证明MN平行于平面ABC内的一条直线．取BC中点G，连NG、AG，可证MAGN是平行四边形，从而MN∥AG；（2）要证CD⊥平面AA1B1B，利用线面垂直的判定定理，借助于平面AA1B1B⊥平面ABC可证；（3）作DE⊥A1B交A1B于E，延长DE交B1B于F，连接CF，证明A1B⊥平面C1DF，点F即为所求．
点评：本题以直三棱柱为载体，考查线面平行，线面垂直，解题的关键是正确利用线面平行，线面垂直的判定定理．