已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1（x）+f2（x），且满足下列条件：①f1（x）是D上的增函数；②f2（x）是D上的

网友回答

（1）解：（i）?y=sinx+cosx是区间上的“偏增函数”．
记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，显然f1（x）=sinx在上单调递增，f2（x）=cosx在上单调递减，
且f2（x）=cosx∈（，1）?[0，+∞），
又在上单调递增，
故y=sinx+cosx是区间上的“偏增函数”．
（ii）证明：，
记，
显然在上单调递增，f2（x）=cosx在上单调递减，
且f2（x）=cosx∈（，1）?[0，+∞），
又y=f（x）=f1（x）+f2（x）=sinx在上单调递增，
故y=sinx是区间上的“偏增函数”．?
（2）证明：①当b＞0时，令f1（x）=（k+1）x，f2（x）=-x+b，D=（0，b），显然D=（0，b）?[0，+∞），
∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上单调递增，
f1（x）=（k+1）x在（0，b）上单调递增，f2（x）=-x+b在（0，b）上单调递减，
且对任意的x∈（0，b），b＞f2（x）＞f2（b）=0，
因此b＞0时，必存在一个区间（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数．
②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f1（x）=（k+1）x-c，f2（x）=-x+b+c，D=（0，b+c）?[0，+∞），
显然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上单调递增，
f1（x）=（k+1）x-c在（0，b+c）上单调递增，f2（x）=-x+b+c在（0，b+c）上单调递减，
且对任意的（0，b+c），b+c＞f2（x）＞f2（b+c）=0，
因此b≤0时，必存在一个区间（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数”．
综上，对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），
使f（x）为D上的“偏增函数”．
解析分析：（1）（i）记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，根据偏增函数的定义及正余弦函数的性质可作出判断；（ii）f（x）=（sinx-cosx）+cosx，记，根据偏增函数的定义可证明；（2）分情况讨论：①当b＞0时，令f1（x）=（k+1）x，f2（x）=-x+b，取D=（0，b）；②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f1（x）=（k+1）x-c，f2（x）=-x+b+c，D=（0，b+c），根据偏增函数定义即可证明；

点评：本题考查函数的单调性、正余弦函数的性质，考查分类讨论思想，考查学生灵活运用知识分析问题解决新问题的能力，综合性强，难度大．