已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f?（

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解：（1）令x1=x2=0，依条件（3）可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由条件（1）得f（0）≥0故f（0）=0（3分）
（2）任取0≤x1＜x2≤1可知x2-x1∈（0，1]，则
f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1）
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1因此当x=1时，f（x）取最大值1．（8分）
（3）证明：先用数学归纳法证明：当x∈（n∈N+）时，f（x）≤
10当n=1时，x∈，f（x）≤f（1）=1=，不等式成立．
当n=2时，x，＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤f（2x）≤不等式成立．
20假设当n=k（k∈N+，k≥2）时，不等式成立，即x∈时，f（x）≤
则当n=k+1时，x，记t=2x，则t=2x∈，∴f（t）≤
而f（t）=f（2x）≥2f（x），∴f（x）≤f（2x）=f（t）≤
因此当n=k+1时不等式也成立．
由10，20知，当x∈（n∈N+）时，f（x）≤
又当x∈（n∈N+）时，2x＞，此时f（x）＜2x．
综上所述：当x∈（n∈N+）时，有f（x）＜2x．（14分）
解析分析：（1）通过①②确定f（0）≥0以及f（0）≤0，试求f（0）的值；（2）任取0≤x1＜x2≤1通过f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1），当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1，当x=1时，f（x）取最大值1；（3）利用数学归纳法的证明步骤试10当n=1时验证即可；20假设当n=k（k∈N+，k≥2）时，不等式成立，证明当n=k+1时不等式也成立．

点评：本题是中档题，考查函数的值的求法，最值的求法，数学归纳法的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．