已知数列{an}满足：（其中常数λ＞0，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：当λ=4时，数列{an}中的任何三项都不可能成等比数列；（Ⅲ）设Sn为

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（Ⅰ）解：由①，
取n=1时，求得a1=3，
当n≥2时，有②，
①-②得：．∴．
又a1=3也适合上式，
所以，．
（Ⅱ）证明：当λ=4时，．
下面用反证法证明
假设存在ar，as，at成等比数列，
则[（2r+1）?4r-1]?[（2t+1）?4t-1]=（2s+1）2?42s-2．
整理得（2r+1）（2t+1）?4r+t-2s=（2s+1）2．
等式右边为奇数，要使左边等于右边，则r+t-2s=0．
所以，（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）2，整理得（r-t）2=0，∴r=t．这与r≠t矛盾，
故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列．
（Ⅲ）证明：Sn=a1+a2+…+an
=3+5λ+7λ2+…+（2n+1）λn-1．
当λ=1时，．
当λ≠1时，Sn=3+5λ+7λ2+…+（2n+1）λn-1③．
④．
③-④得：
=．
所以，当λ=1时，不等式左边=（1-λ）Sn+λan=an=2n+1≥3，结论显然成立；
当λ≠1时，不等式左边=
=．
而λ＞0，1-λ和1-λn-1同号，故．
∴（1-λ）Sn+λan≥3．
综上，（1-λ）Sn+λan≥3对任意n∈N*都成立．

解析分析：（Ⅰ）由给出的递推式知，n=1时，a1=3，n≥2时，在递推式中取n=n-1得另一递推式，两式作差后可求an，验证首项后即可得到数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在数列{an}的通项公式中，把λ值代4，利用反证法证明不存在正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列；（Ⅲ）当λ=1时，利用等差数列求和求出Sn，当λ≠1时，利用错位相减法求出Sn，把求得的an和Sn代入要求证的不等式左边，整理后即可得到结论．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了利用错位相减法求数列的前n项和，考查了分类讨论得数学思想，训练了反证法，体现了整体代换思想，是很好的数列与不等式综合题．属中高档题．