如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点．（1）求证：AD⊥DC1；（2）如果E是B1C1的中点，求证：A1E∥平面ADC1．

网友回答

证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴C1C⊥AD，
又AD⊥C1D，C1C∩C1D=C1，
∴AD⊥平面BCC1B1．
∵DC1?平面BCC1B1．
∴AD⊥DC1；（6分）
（2）由（1）得∴AD⊥BC，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴D为BC边上的中点，（9分）
连接DE，∵点E是B1C1的中点，
∴在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形B1BDE为平行四边形，
∴B1BED，又B1B A1A，∴ED A1A，∴四边形A1ADE为平行四边形．（12分）
∴A1E∥AD，又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，
∴A1E∥平面ADC1．（14分）
解析分析：（1）根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AD与平面BCC1B1内两相交直线垂直，而C1C⊥AD，又AD⊥C1D，C1C∩C1D=C1，满足定理条件；即可证明AD⊥平面BCC1B1，（2）通过（1）AD⊥BC，D为BC边上的中点，连接DE，而点E是B1C1的中点，则四边形B1BDE为平行四边形，可证四边形A1ADE为平行四边形，从而A1E∥AD，又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，根据线面平行的判定定理可知A1E∥平面ADC1．

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．