已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，设D为AA1的中点．（Ⅰ）作出该几何体的直观图并求其体积；（Ⅱ）求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；（Ⅲ）BC

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解：（Ⅰ）由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如图所示．由图知底面正三角形边长为2，棱柱高为3，
∴S△ABC=，∴V=3（4分）
（Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于E点，则E为B1C、BC1的中点，连接DE．
∵AD=A1D，AB=A1C1，∠BAD=∠DA1C1=90°，
∴△ABD≌△A1C1D．∴BD=C1D．∴DE⊥BC1．
同理，DE⊥B1C，
又∵B1C∩BC1=E．∴DE⊥平面BB1C1C．
又∵DE?平面BDC1，∴平面BB1C1C⊥平面BDC1．（8分）
（Ⅲ）解：取BC的中点P，连接AP，则AP∥平面BDC1，
证明：连接PE，则PE∥AD，且PE=AD，∴四边形APED为平行四边形．
∴AP∥DE．又DE?平面BDC1，AP?平面BDC1，
∴AP∥平面BDC1．（12分）
解析分析：（Ⅰ）由题意可知该几何体为直三棱柱，利用直观图的数据求出S△ABC和V即可．（Ⅱ）连接B1C交BC1于E点，则E为B1C、BC1的中点，连接DE．证明△ABD≌△A1C1D，证明DE⊥BC1．DE⊥B1C，，B1C∩BC1=E．证明DE⊥平面BB1C1C．然后证明平面BB1C1C⊥平面BDC1．（Ⅲ）取BC的中点P，连接AP，证明AP∥DE即可证明AP∥平面BDC1．

点评：本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积与面积的求法，直线与平面垂直与平行，平面与平面垂直的证明方法，考查空间想象能力．