解答题已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=，an+2SnSn-1=0（n≥2）．
（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求Sn和an；
（3）求证：．
网友回答
解：（1）S1=a1=，∴
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1，∴
∴为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）
（2）由（1）知=2+（n-1）×2=2n，∴…（6分）
当n≥2时，
∴…（9分）
（3）==…（13分）解析分析：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1，两边同除以SnSn-1，可得，从而可得为等差数列；（2）由（1）知是以首项为2，公差为2的等差数列，从而可得Sn，利用an+2SnSn-1=0（n≥2），可求an；（3）利用，表示S12+S22+…+Sn2，利用放缩法变为，从而利用裂项法求和，即可证得．点评：本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查数列的通项的求解，关键是利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1，巧妙构建新数列，同时考查放缩法，考查裂项法求和，有一定的综合性．